靜電場的理論、模型與計算

畫面上有幾顆固定的電荷。你可以問兩件事：某一點的電場是多少？如果放一顆會動的測試電荷，它會怎麼運動？ 這一頁先說明模型的基本想法，再說明怎麼讀畫面、模型在哪裡不再適用；比較技術性的計算細節放在標示「進階」的區塊，需要時再展開。

1. 這個模型在做什麼？

• 每顆源電荷是理想的點電荷，位置固定、不會移動。
• 測試電荷會受力運動，但不會反過來推動源電荷。這是模型的假設，不是說真實電荷之間沒有交互作用。 因為源電荷固定不動，電場不會隨時間自己改變；測試電荷只是在這個固定的電場中運動。
• 探針只讀取某一點的電場，不影響任何東西。

畫面只畫一個平面，但使用的仍是普通三維空間中的庫侖平方反比定律。我們只是把電荷和觀察點限制在同一個平面。

2. 電場從哪裡來？

第 i 顆源電荷 q_i 位於 \vec r_i，它在位置 \vec r 造成的電場為

\vec E_i(\vec r) = k\,q_i\,\frac{\vec r - \vec r_i}{|\vec r - \vec r_i|^{3}} \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99\times10^{9}\ \text{N·m}^2/\text{C}^2

白話地說：正的源電荷讓電場背離它，負的源電荷讓電場指向它；離得越遠，電場大小以距離平方的倒數減小。

3. 多顆電荷怎麼一起作用？

每顆電荷各自造成一個電場，合電場是它們的向量和：

\vec E(\vec r) = \sum_i \vec E_i(\vec r)

相加的是向量，不是大小。兩個大小相同、方向相反的貢獻可以互相抵消；方向不同的貢獻要用平行四邊形（或分量）合成。 畫面上的「貢獻箭頭」就是每個 \vec E_i，「合電場箭頭」就是它們的和 \vec E。

4. 電場怎麼變成力與運動？

模型先算出某個位置的電場 \vec E，再用測試電荷的電量算出力 \vec F，最後用質量算出加速度 \vec a：

\vec E \quad\Rightarrow\quad \vec F = q_{\text{test}}\vec E \quad\Rightarrow\quad \vec a = \frac{\vec F}{m} = \frac{q_{\text{test}}}{m}\vec E

• 電場 \vec E 只由源電荷和位置決定。改變測試電荷的正負或質量，都不會改變 E。
• 測試電荷變號，力 \vec F 與加速度 \vec a 會反向。正測試電荷的力與加速度和 E 同向；負測試電荷則反向。
• 質量不影響 \vec E 和 \vec F，但質量越大，加速度 |\vec a| 越小。
• E、F、a 不一定是粒子前進的方向。它們決定的是速度如何改變；粒子實際往哪裡走，還取決於它現在的速度。 速度、力、加速度是三個不同的量，可以指向不同方向。

電場線沿著各位置的電場方向延伸，線上的箭頭就是 \vec E 的方向：一般從正電荷出發，指向負電荷或觀察範圍邊界。 在某些對稱的平面切面中，電場線也可能趨近一個電場為零的點；在零場點 \vec E = \vec 0，電場線的方向沒有定義，畫面上的線就停在那裡。 它不是帶電粒子的運動軌跡；粒子的實際運動還取決於電荷正負、質量與初速度。畫面上的線條數量是視覺化的選擇，不是精確的場強量測。

例如四顆相同正電荷放在正方形四角時，中心是完整三維庫侖場的鞍點：在 z = 0 這個對稱平面內，中心附近的電場方向都指向中心； 若稍微離開平面，電場則沿 \pm z 指離中心。零場點本身沒有方向，所以不能說某一條電場線會唯一地「穿過」中心繼續延伸。

5. 怎麼讀畫面上的箭頭？

背景的小箭頭使用非線性顯示尺度，方便同時看見強場與弱場；測量點旁的彩色貢獻向量則使用同一線性比例，因此可以直接看它們怎麼相加。 箭頭方向代表電場方向；背景箭頭的視覺強弱只用來方便比較，不是線性的場強刻度。真正的 N/C 數值請看測量讀值。 測量讀值是實際計算的結果，沒有被截斷。5000 N/C 只是背景箭頭顯示尺度的上端；實際計算值不會被截成 5000 N/C。

6. 灰色核心代表什麼？

點電荷的場在 r\to 0 時會發散。本模型不把力調軟、不把場截斷、不編一個源電荷處的有限值，也不會悄悄把粒子推開。 取而代之的是：每顆源電荷有一個排除半徑

r_{\text{core}} = 0.12\ \text{m}

在這個邊界上或以內，本產品不使用點電荷模型；探針會顯示「模型未定義」。 若測試電荷的一步會進入核心，模擬就停在第一次碰到邊界的位置。 灰色核心是模型有效性的邊界，不是帶電物體的實際半徑。 同樣地，測試電荷離開 4 m × 3 m 的觀察範圍時，軌跡也在邊界結束，不會繞回來或反彈。

7. 模型有哪些限制？

• 理想點電荷 vs. 真實電荷分布：真實物體有大小與形狀；靠近它時，點電荷的公式不再準確。灰色核心正是這個「不再適用」的提醒。
• 固定的源電荷 vs. 會互相移動的電荷：真實電荷之間會互相施力並運動；這裡的源電荷不動，測試電荷也不反作用於它們。
• 只有靜電：沒有磁場效應、沒有電磁輻射，也沒有相對論修正。測試電荷速度遠小於光速時，這是合理的簡化。
• 平面設置 vs. 三維定律：所有物體在同一平面，電場用三維庫侖定律。
• 灰色核心與觀察範圍邊界是刻意設下的有效性邊界；粒子到了那裡就停止，而不是被修飾過。
• v0.1 的參數範圍是經過驗證的產品範圍，不是自然界的界線（見下方）。