雙點波源干涉

為什麼「距離差固定」會是雙曲線？

雙曲線的定義：平面上到兩個焦點的距離差（取絕對值）為定值的所有點。

把 S_1、S_2 當作焦點，兩焦點距離 2c=d。一條條件線要求 |r_2-r_1|=|D| 固定，也就是 2a=|D|。以兩波源中點為原點：

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a=\frac{|D|}{2},\qquad b^2=\left(\frac d2\right)^2-a^2

本實驗採用帶正負號的 \Delta r=r_2-r_1：\Delta r>0 表示 P 離 S_1 較近，落在左支；\Delta r<0 落在右支。

兩個特例

D=0：到兩波源等距的點是中垂線，所以中央線是直線。

|D|=d：三角不等式 |r_2-r_1|\le d 取等號，只在 P 位於兩波源連線上、且在兩波源外側時成立。此時 b=0，雙曲線壓扁成兩條從波源向外的半直線。|D|>d 則根本沒有點滿足，線就不存在。

線數公式怎麼來？

關鍵只有一個上限：|\Delta r|\le d。

波腹線（同相波源）

條件 |\Delta r|=m\lambda，而 m\lambda\le d，所以 m=0,1,\ldots,\lfloor d/\lambda\rfloor。m=0 只有中央一條；每個 m\ge1 左右各一支：

N_{\text{腹}}=2\left\lfloor\frac d\lambda\right\rfloor+1

波節線

條件 |\Delta r|=\left(m+\tfrac12\right)\lambda\le d，所以 m=0,1,\ldots,\lfloor d/\lambda-\tfrac12\rfloor，共 \lfloor d/\lambda+\tfrac12\rfloor 個值；沒有中央那條，每個值左右各一支：

N_{\text{節}}=2\left\lfloor\frac d\lambda+\frac12\right\rfloor

等號也要算

當 m\lambda 剛好等於 d（例如 d=3\lambda 的 m=3），那一階是兩條退化半直線，仍然算兩條。所以 d=3\lambda 時是 7 條波腹線、6 條波節線。

為什麼 180° 會讓線整組互換？

P 點收到的兩列波，相位差來自兩個部分：多走的路，加上波源本身的初相位差。

\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)+(\phi_2-\phi_1)

相長要 \Delta\phi=2\pi m，相消要 \Delta\phi=2\pi\left(m+\tfrac12\right)。把相長條件解出路徑差：

\Delta r=\left(m-\frac{\phi_2-\phi_1}{2\pi}\right)\lambda

當 \phi_2-\phi_1=\pi，相長位置變成 \Delta r=\left(m-\tfrac12\right)\lambda，正是原本波節的位置；相消位置同理移到原本波腹的位置。整組線只是平移了半個波長的路徑差。

同調不等於同相

穩定干涉圖樣需要兩波源同調：頻率相同、相位差固定不隨時間變。180° 的相位差固定不變，所以仍然同調，圖樣照樣穩定。

用字要小心

振幅不等或考慮距離衰減時，兩列波反相抵達，合成振幅是兩列波到達 P 時振幅之差的絕對值，未必是零；無衰減時為 |A_1-A_2|。所以離開課本條件後，本實驗把線改稱「相長／相消條件線」。

為什麼波在動、干涉線不動？

單一波源在距離 r 處的瞬時相位是

\theta=kr+\phi-\omega t,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}

兩列波的相位差

\Delta\theta=\theta_2-\theta_1=k(r_2-r_1)+(\phi_2-\phi_1)

完全不含 t。只要兩波源頻率相同、相位差固定，每一點的相位差永遠是同一個值；條件線描述的正是這個值，所以不會移動。

模擬器畫的是什麼

把兩列波合成一個不含時間的相量 C(x,y)=|C|\,e^{i\Phi}，瞬時位移是它隨時間的投影：

\psi(x,y,t)=\operatorname{Re}\!\left[C\,e^{-i\omega t}\right]=|C|\cos(\Phi-\omega t)

• 瞬時位移 \psi：隨時間在 \pm|C| 之間振動。
• 合成振幅 |C|、強度 |C|^2：振動的上限，不隨時間變。波節上 |C|=0，所以每一瞬間 \psi 都是 0。
• 合成相位 \Phi：也不隨時間變。瞬時相位 \Phi-\omega t 會變，但整張圖每一點同步轉同樣的角度，空間結構不變。

介質微元只在平衡位置附近振動；向外傳播的是波形（相位結構）與能量。