拋體運動的理論與計算

這個模型只有一句核心主張：水平方向與垂直方向互不影響。水平沒有力，所以等速；垂直只有重力，所以等加速。 兩者共用同一個時間 t，卻各自獨立地演化。畫面上的每一條曲線、每一個數字，都是這句話的直接後果。

因為兩個方向可以分開解，真空情況下的答案都寫得出封閉形式。軌跡不是一步一步累積出來的，而是把時間代進式子求值得到的。 唯一的例外是空氣阻力，理由寫在最後。

符號

基本運動方程

v_x = v_0\cos\theta \qquad\text{(不隨時間改變)}

v_y(t) = v_0\sin\theta - gt

x(t) = v_x\,t \qquad\qquad y(t) = h + v_0\sin\theta\,t - \tfrac{1}{2}gt^2

模型的分量圖就是這幾條式子的圖像：x\text{–}t 必然是直線，y\text{–}t 必然是二次曲線，v_x 是水平線，v_y 是斜率恆為 -g 的直線。 若在畫面上看到別的形狀，就表示假設被破壞了（例如加入了空氣阻力）。

飛行時間、射程與最高點

落地即 y = 0，解 \tfrac{1}{2}gt^2 - v_0\sin\theta\,t - h = 0 取正根：

t_f = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2gh}}{g} \qquad R = v_0\cos\theta\cdot t_f

最高點發生在 v_y = 0 的時刻：

t_{\text{apex}} = \frac{v_0\sin\theta}{g} \qquad y_{\max} = h + \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}

當 h = 0 時射程化簡為 R = v_0^2\sin 2\theta / g。這個形式讓兩件事一眼可見：R 與 v_0^2 成正比、與 g 成反比（所以月球上同樣的一拋會遠約六倍）， 而且 \sin 2\theta 在 \theta = 45^\circ 取最大。

最佳發射角：45° 只是特例

對一般的發射高度，使射程最大的角度為

\sin\theta^{*} = \frac{1}{\sqrt{2 + 2gh/v_0^2}} \qquad R_{\max} = \frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2 + 2gh}

h = 0 時 \sin\theta^{*} = 1/\sqrt{2}，也就是 45°。 但只要發射點高於落地面，最佳角就會小於 45°：額外的高度已經免費提供了滯空時間， 因此把速度多分配給水平方向更划算。模型的讀數列永遠顯示由上式算出的角度，不會固定寫 45°。

互補角：等射程的條件

由 R = v_0^2\sin 2\theta / g，因為 \sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)， 所以 \theta 與 90^\circ - \theta 射程相同。 兩者的滯空時間卻不同，比值為 \tan\theta：高角度的那一顆晚很多才落地。 模型讓兩顆球同時發射，就是為了讓這個差別看得見。

這個配對只在 h = 0 時成立。發射點一旦抬高，兩個角度的射程就會分開， 模型會分別報出兩個數字，而不是假裝它們相等。

安全拋物線（可及邊界）

固定速率 v_0、掃過所有發射角，得到的軌跡族有一條外包絡線：

y = h + \frac{v_0^2}{2g} - \frac{gx^2}{2v_0^2}

它本身也是一條拋物線。邊界以內的每一點，都存在（通常是兩個）發射角打得到；邊界以外則無論怎麼瞄都打不到。 要打中位於 (x, y) 的目標，發射角滿足

\tan\theta = \frac{v_0^2 \pm \sqrt{v_0^4 - g\left(gx^2 + 2yv_0^2\right)}}{gx}

根號內為負，就代表目標落在安全拋物線之外。兩個解分別對應低伸彈道與高吊彈道。

加速度的切向與法向分量

重力大小方向都不變，但它對運動所起的作用一直在變。 把 \vec{a} = (0,\,-g) 沿速度方向與其垂直方向分解：

a_{\parallel} = -\frac{g\,v_y}{v} \quad\text{(改變速率)} \qquad a_{\perp} = \frac{g\,|v_x|}{v} \quad\text{(改變方向)}

a_{\parallel}^{2} + a_{\perp}^{2} = g^{2}

上升時 a_{\parallel} < 0（減速），下降時 a_{\parallel} > 0（加速）， 最高點 a_{\parallel} = 0，此時重力全部用來轉彎。軌跡的曲率與曲率半徑為

\kappa = \frac{a_{\perp}}{v^{2}} = \frac{g\,|v_x|}{v^{3}} \qquad \rho = \frac{1}{\kappa} = \frac{v^{3}}{g\,|v_x|}

因為最高點的速率最小，曲率在該處最大、曲率半徑最小——這正是密切圓在頂點縮到最小的原因。

階梯落點

設階面深 w、階高 r，從最上緣拋出。 第 n 階的踏面位於 y = -nr，水平範圍 [(n-1)w,\ nw]。 落在第 n 階的條件，是軌跡下降到該踏面高度時尚未越過它的外緣：

t_n = \frac{v_y + \sqrt{v_y^2 + 2gnr}}{g} \qquad \text{落在第 } n \text{ 階} \iff v_x t_n \le nw

模型從 n = 1 逐階代入這個不等式，每一階都是一次代數判斷，不是碰撞搜尋。 水平拋出（v_y = 0）時可以直接化簡：

n = \left\lceil \frac{2v_0^2\,r}{g\,w^2} \right\rceil

由於 n 與 v_0^2 成正比，速度加倍會讓落點往下移約四倍的階數。 模型同時顯示這個捷徑與一般解，兩者互相驗算。

空氣阻力：唯一使用數值方法的部分

加入與速率平方成正比的阻力後，運動方程變成

\vec{a} = -g\,\hat{\jmath} - b\,|\vec{v}|\,\vec{v} \qquad b = \frac{\rho\,C_d\,A}{2m}\ \ (\text{m}^{-1})

水平與垂直方程透過 |\vec{v}| 耦合在一起，兩個方向不再獨立，這個系統沒有基本函數形式的解。 因此模型改用四階 Runge–Kutta 法推進，固定步長 \Delta t = 0.002\ \text{s}， 並在最後一步用線性內插求出精確落地點，避免落點被步長量化。

這是模型中唯一被逐步累積出來的曲線，其餘全部是解析求值。程式碼裡這一段被獨立在檔案末端並加上標記， 且有一項測試斷言「標記線以上不得出現任何積分」，讓「以上皆為精確解」成為可驗證的性質，而不是一句會過期的註解。

數值解的誤差如何被檢查

把阻力係數設為 b = 0，數值積分就必須重現真空的封閉解。測試以v_0 = 26\ \text{m/s}、\theta = 38^\circ、h = 8\ \text{m} 檢查： 落地時間誤差小於 10^{-3}\ \text{s}，落點誤差小於 10^{-2}\ \text{m}。 這是用它所推廣的那個精確解來校準積分器，而不是拿它自己的輸出跟自己比。

阻力開啟時，模型不會把真空軌跡藏起來，而是兩條並列：這個對照本身就是重點。畫面上以實線與虛線區分， 並標示阻力曲線為數值結果，性質與其餘曲線不同。

模型的理想化與限制

適合與不適合的用途

適合用來建立「水平垂直獨立」的直觀、比較發射角與射程的關係、討論最佳角與高度的關係、示範互補角與安全拋物線，以及製作教材圖。 若需要真實彈道計算、運動生物力學分析或體育器材設計，應改用含完整空氣動力模型、旋轉效應與實測係數的專業工具。